导数练习题及答案

导数练习题及答案

导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。以下是导数练习题及答案,欢迎阅读。

导数练习题及答案

  一、选择题

1.函数在某一点的导数是( )

A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比

B.一个函数

C.一个常数,不是变数

D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

[答案] C

[解析] 由定义,f′(x0)是当Δx无限趋近于0时,ΔyΔx无限趋近的常数,故应选C.

2.如果质点A按照规律s=3t2运动,则在t0=3时的瞬时速度为( )

A.6 B.18

C.54 D.81

[答案] B

[解析] ∵s(t)=3t2,t0=3,

∴Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-332

=18Δt+3(Δt)2∴ΔsΔt=18+3Δt.

当Δt→0时,ΔsΔt→18,故应选B.

3.y=x2在x=1处的导数为( )

A.2x B.2

C.2+Δx D.1

[答案] B

[解析] ∵f(x)=x2,x=1,

∴Δy=f(1+Δx)2-f(1)=(1+Δx)2-1=2Δx+(Δx)2

∴ΔyΔx=2+Δx

当Δx→0时,ΔyΔx→2

∴f′(1)=2,故应选B.

4.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=4t2-3(s(t)的单位:m,t的单位:s),则t=5时的瞬时速度为( )

A.37 B.38

C.39 D.40

[答案] D

[解析] ∵ΔsΔt=4(5+Δt)2-3-4×52+3Δt=40+4Δt,

∴s′(5)=limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 (40+4Δt)=40.故应选D.

5.已知函数y=f(x),那么下列说法错误的是( )

A.Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫做函数值的增量

B.ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx叫做函数在x0到x0+Δx之间的平均变化率

C.f(x)在x0处的导数记为y′

D.f(x)在x0处的导数记为f′(x0)

[答案] C

[解析] 由导数的定义可知C错误.故应选C.

6.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为y′|x=x0,即( )

A.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)

B.f′(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x0)]

C.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)Δx

D.f′(x0)=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx

[答案] D

[解析] 由导数的定义知D正确.故应选D.

7.函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)在x=2时的瞬时变化率等于( )

A.4a B.2a+b

C.b D.4a+b

[答案] D

[解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)2+b(2+Δx)+c-4a-2b-cΔx

=4a+b+aΔx,

∴y′|x=2=limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 (4a+b+aΔx)=4a+b.故应选D.

8.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是( )

A.圆 B.抛物线

C.椭圆 D.直线

[答案] D

[解析] 当f(x)=b时,f′(x)=0,所以f(x)的.图象为一条直线,故应选D.

9.一物体作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度为( )

A.0 B.3

C.-2 D.3-2t

[答案] B

[解析] ∵ΔsΔt=3(0+Δt)-(0+Δt)2Δt=3-Δt,

∴s′(0)=limΔt→0 ΔsΔt=3.故应选B.

10.设f(x)=1x,则limx→a f(x)-f(a)x-a等于( )

A.-1a B.2a

C.-1a2 D.1a2

[答案] C

[解析] limx→a f(x)-f(a)x-a=limx→a 1x-1ax-a

=limx→a a-x(x-a)xa=-limx→a 1ax=-1a2.

  二、填空题

11.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为11,则

limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=________;

limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.

[答案] -11,-112

[解析] limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)Δx

=-limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)-Δx=-f′(x0)=-11;

limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx

=-12f′(x0)=-112.

12.函数y=x+1x在x=1处的导数是________.

[答案] 0

[解析] ∵Δy=1+Δx+11+Δx-1+11

=Δx-1+1Δx+1=(Δx)2Δx+1,

∴ΔyΔx=ΔxΔx+1.∴y′|x=1=limΔx→0 ΔxΔx+1=0.

13.已知函数f(x)=ax+4,若f′(2)=2,则a等于______.

[答案] 2

[解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)+4-2a-4Δx=a,

∴f′(1)=limΔx→0 ΔyΔx=a.∴a=2.

14.已知f′(x0)=limx→x0 f(x)-f(x0)x-x0,f(3)=2,f′(3)=-2,则limx→3 2x-3f(x)x-3的值是________.

[答案] 8

[解析] limx→3 2x-3f(x)x-3=limx→3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3

=limx→3 2x-3f(3)x-3+limx→3 3(f(3)-f(x))x-3.

由于f(3)=2,上式可化为

limx→3 2(x-3)x-3-3limx→3 f(x)-f(3)x-3=2-3×(-2)=8.

  三、解答题

15.设f(x)=x2,求f′(x0),f′(-1),f′(2).

[解析] 由导数定义有f′(x0)

=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx

=limΔx→0 (x0+Δx)2-x20Δx=limΔx→0 Δx(2x0+Δx)Δx=2x0,

16.枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动,如果它的加速度是5.0×105m/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

[解析] 位移公式为s=12at2

∵Δs=12a(t0+Δt)2-12at20=at0Δt+12a(Δt)2

∴ΔsΔt=at0+12aΔt,

∴limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 at0+12aΔt=at0,

已知a=5.0×105m/s2,t0=1.6×10-3s,

∴at0=800m/s.

所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

17.在曲线y=f(x)=x2+3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy),求(1)ΔyΔx (2)f′(1).

[解析] (1)ΔyΔx=f(1+Δx)-f(1)Δx

=(1+Δx)2+3-12-3Δx=2+Δx.

(2)f′(1)=limΔx→0 f(1+Δx)-f(1)Δx

=limΔx→0 (2+Δx)=2.

18.函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由.

[解析] f(x)=x+x2 (x≥0)-x-x2 (x<0)

Δy=f(0+Δx)-f(0)=f(Δx)

=Δx+(Δx)2 (Δx>0)-Δx-(Δx)2 (Δx<0)

∴limx→0+ ΔyΔx=limΔx→0+ (1+Δx)=1,

limΔx→0- ΔyΔx=limΔx→0- (-1-Δx)=-1,

∵limΔx→0- ΔyΔx≠limΔx→0+ ΔyΔx,∴Δx→0时,ΔyΔx无极限.

∴函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.(x→0+表示x从大于0的一边无限趋近于0,即x>0且x趋近于0)

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