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有界函数与无穷小的乘积(有界函数与无穷小的乘积是0)

无穷乘有界函数不可以确定结果有界函数与无穷小的乘积,可能是无穷;可能是不存在。

当X-0时,(1/X)*sin(1/X)的极限就不存在。

1/X —〉趋向于无穷大,可是sin(1/X)是有界的。

对于

x趋于无穷,limxsinx=∞问题。

从极限定义出发:

对于任意给定的不论多么大的正数M,不会存在一个正数X,使得当

|x|>X时,

|xsinx|>M。

有界函数与无穷小的乘积(有界函数与无穷小的乘积是0)

也就是说该极限不会为无穷。因为对于特定x,|xsinx|=0。从特定例子出发:若x=n*pi,n为正整数,当n趋于无穷,x趋于无穷,但是xsinx极限为0。

若x等于pi/2*(2n+1),n趋于无穷,x趋于无穷,但是xsinx极限就是无穷。对于一个极限,对x趋于无穷的方式是没有限制的,但对于本题,却出现极限大小与x趋于无穷方式有关,显然此时极限不存在。

扩展资料

在集合论中对无穷有不同的定义。

德国数学家康托尔提出,对应于不同无穷集合的元素的个数(基数),有不同的“无穷”。两个无穷大量之和不一定是无穷大,有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大(如常数0就算是有界函数),有限个无穷大量之积一定是无穷大。

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)。如果对于任意给定的正数M(无论它多么大),总存在正数δ(或正数X)。

只要x适合不等式0X,即x趋于无穷),对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中,无穷大与无穷小具有倒数关系,即当x→a时f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小;反之,f(x)为无穷小,且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时,1/f(x)才为无穷大。://iknow-pic.cdn.bcebos.com/d8f9d72a6059252d6c09a2683b9b033b5bb5b944

求极限并不是求两个数的乘积,所以两个函数的乘积的极限值与两个函数自身的极限值之间的关系,是需要具体问题具体分析的,而不能简单的用数学公式的规律进行类比。无穷小是数值不断趋向于0的函数,而这个函数可以从x轴上下两边进行趋近,也就是说它可以是不断缩小的震荡函数,数值偶尔是可以等于0的,当然也可以无限趋近且不等于0,但是如果一个函数的极限是无穷大,那么函数的数值必须不断增大且无界,那么无穷大乘以一个有界函数,这个有界函数可能是周期震荡的,其间是可能存在等于0的情况,例如你举的例子,sin(1/x)是可以等于0的,且是周期震荡的,那么这两个函数的乘积就不会是无穷大,这是两种趋势的理解。

不一定。有限个无穷小的和一定是无穷小,而无限个无穷小的和不一定是无穷小。例如n趋于无穷大时1/n是无穷小,但是n个1/n相加(无数个无穷小之和)=n*(1/n)=1不是无穷小。扩展资料无穷小的性质:1、无穷小量不是一个数,它是一个变量。2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。3、无穷小量与自变量的趋势相关。4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。 5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。7、特别地,常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小。

首先函数在一点处的

导数和在该点处导函数的极限是两个不同的概念,前者是直接用导数定义求得,后者是利用求导公式求出导函数的表达式后再求该点处的极限,两者完全可以不相等。

例如f(x)=x^2*sin(1/x)在x=0处的导数等于0,但其导函数在x=0处的极限不存在。但是在相当普遍的情况下,二者又是相等的,这个事实的本质上就是由导数极限

定理所保证的。

导数极限定理是说:如果f(x)在x0的某领域内连续,在x0的去心邻域内可导,且导函数在x0处的极限存在(等于a),则f(x)在x0处的导数也存在并且等于a。

这个定理的重要之处在于,不事先要求f在x0处可导,而根据导函数的极限存在就能推出在该点可导,也就是说,导函数如果在某点极限存在,那么在该点导函数一定是连续的,而这正是一般函数所不具备的性质。

扩展资料:

1.利用函数的连续性求函数的极限(直接带入即可)

如果是初等函数,且点在的定义区间内,那么,因此计算当时的极限,只要计算对应的函数值就可以了。

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2.利用有理化分子或分母求函数的极限

a.若含有,一般利用去根号

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b.若含有,一般利用,去根号

有界函数与无穷小的乘积(有界函数与无穷小的乘积是0)

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3.利用两个重要极限求函数的极限

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4.利用无穷小的性质求函数的极限

性质1:有界函数与无穷小的乘积是无穷小

性质2:常数与无穷小的乘积是无穷小

性质3:有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小

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5.分段函数的极限

求分段函数的极限的充要条件是: