幂指函数求极限的 *** 主要有三种,分别是取对数法,等价代换法和配凑法。取对数法是“幂指型”函数极限求解最普遍、最一般的 *** ,利用的是幂指型通过取对数可以转化为复合函数的特点等。
*** 一:取对数法
这是“幂指型”函数极限求解最普遍、最一般的 *** ,利用的是幂指型通过取对数可以转化为复合函数的特点。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x),f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)。由于指数函数的连续性,求解幂指型f(x)g(x)的极限的问题就归结为求g(x)lnf(x)的极限问题。
*** 二:等价代换法
利用等价无穷小(或无穷大)作代换是很重要并且有技巧性的一种求极限的 *** 。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x),如果f(x)~?(x),g(x)~ψ(x),自然有g(x)lnf(x)~ψ(x)ln?(x),于是f(x)g(x)~?(x)ψ(x)。由此我们可以得到:如果f(x)>0,?(x)>0,f(x)~?(x),g(x)~ψ(x),而limf(x)g(x)存在,那么lim?(x)ψ(x)=limf(x)g(x)。
*** 三:配凑法
一般来说,配凑法往往利用重要极限limx→0(1+x)1x=e,所以一般用于求解“1∞”型极限。若α(x)>0,α(x)是无穷小量,那么
如果α(x)β(x)的极限存在,那么就达到配凑法求解极限的目的了,因此我们可以考虑先求α(x)β(x)的极限。
上述三种 *** 为幂指型函数求极限的主要 *** ,最常规的 *** 是取对数法,后面两种 *** 有一定技巧性,不过也可以归结为取对数的 *** 。掌握好它们,我们在遇到这类问题的时候就不再会感到非常吃力了。
将形如y=[f(x)]^g(x)的函数称为幂指函数。也就是说,它既像幂函数,又像指数函数,二者的特点兼而有之。作为幂函数,其幂指数确定不变,而幂底数为自变量;相反地,指数函数却是底数确定不变,而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广,就是广义幂指函数。
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